已知1≤x2＋y2≤2．求證：≤x2＋y2－xy≤3

答案：
解析：

 　　思路　　從已知條件看，可用三角代換，但需要引入半徑參數(shù)r

　　思路　　從已知條件看，可用三角代換，但需要引入半徑參數(shù)r．

　　解答　　∵1≤x2＋y2≤2，

　　∴可設(shè)x＝rocsθ，y＝rsinθ，其中1≤r≤，

　　0≤θ≤2π．

　　∴x2－xy＋y2＝r2－r2sinθcosθ＝r2(1－sin2θ)．

　　∵≤1－sin2θ≤，

　　∴r2≤r2(1－sin2θ)≤r2．

　　而r2≥，r2≤3，

　　∴≤x2－xy＋y2≤3．

　　評析　　從上面的證明過程可以看出，不等式中的兩個(gè)等號(hào)不能同時(shí)成立．


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知1≤x2+y2≤2，則x2+xy+y2的取值范圍
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)的中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為A（2，0），其離心率與雙曲線
y
2
 
3
-
x
2
 
=1的離心率互為倒數(shù)．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過橢圓頂點(diǎn)B（0，b），斜率為k的直線交橢圓于另一點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比數(shù)列，求
k
2
 
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

已知1≤x2＋y2≤2，求證：≤x2－xy＋y2≤3.

 

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