Question

定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（2x）=2f（x）；②當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f（x）=1-|x-3|，則集合{x|f（x）=f（36）}中的最小元素是    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知可得分段函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而求出極值點(diǎn)坐標(biāo)，所以f（x）在[2，4]，[4，8]，[8，16]…上的最大值依次為1，2，4…，即最大值構(gòu)成一個(gè)以2為公比的等比數(shù)列，由此可得結(jié)論．
解答：解：當(dāng)2^n-1≤x≤2ⁿ（n∈N^*）時(shí)，
∵函數(shù)f（x）滿足：①f（2x）=2f（x）；②當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，f（x）=1-|x-3|，
∴n≥2時(shí)，f（x）=2^n-1×f（）=2^n-1×[1-|-3|]
由函數(shù)解析式知，當(dāng)-3=0時(shí)，函數(shù)取得極大值2^n-1，
∴極大值點(diǎn)坐標(biāo)為（3×2^n-2，2^n-1）
∴f（x）在[2，4]，[4，8]，[8，16]…上的最大值依次為1，2，4…，即最大值構(gòu)成一個(gè)以2為公比的等比數(shù)列，
∵，
∴f（x）=4時(shí)x的最小值是12；
故答案為：12
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知分析出分段函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而求出函數(shù)的極值點(diǎn)坐標(biāo)，是解答本題的關(guān)鍵．