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如圖,在三棱錐P -ABC中,點P在平面ABC上的射影D是AC的中點.BC ="2AC=8,AB" =

(I )證明：平面PBC丄平面PAC
(II)若PD =,求二面角A-PB-C的平面角的余弦值.

(I) 通過證明AC⊥BC，進而證明BC⊥平面PAC，從而得證；
(II)

解析試題分析：
(Ⅰ)證明：點在平面上的射影是的中點，
PD⊥平面ABC,PD平面PAC
平面PAC⊥平面ABC                                                ……2分
BC＝2AC＝8，AB＝4
，故AC⊥BC                                     ……4分
又平面PAC平面ABC=AC，BC平面ABC
BC⊥平面PAC，又BC平面PBC
平面PBC⊥平面PAC                                              ……6分
(Ⅱ)如圖所示建立空間直角坐標系，

則C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，8，0），P（2，0，），
                                      ……8分
設平面PAB的法向量為

令
設平面PBC的法向量為
,

令＝0，=1，=－，                            ……10分

二面角的平面角的余弦值為                         ……12分
考點：本小題主要考查面面垂直的證明和二面角的求法.
點評：立體幾何問題，主要是考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，解決此類問題時，要緊扣相應的判定定理和性質定理，要將定理中要求的條件一一列舉出來，缺一不可，用空間向量解決立體幾何問題時，要仔細運算，適當轉化.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，△ABC中，AC＝BC＝AB，ABED是邊長為1的正方形，EB⊥底面ABC，若G，F分別是EC，BD的中點．
(1)求證：GF∥底面ABC；
(2)求證：AC⊥平面EBC；

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB, PC的中點

(1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：EF⊥CD；    
（3）若ÐPDA＝45°，求EF與平面ABCD所成的角的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD ＝12 BC. 點E、F分別是棱PB、邊CD的中點.（1）求證：AB⊥面PAD； （2）求證：EF∥面PAD

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在直角梯形ABCD中，，，且，E、F分別為線段CD、AB上的點，且．將梯形沿EF折起，使得平面平面BCEF，折后BD與平面ADEF所成角正切值為．

（Ⅰ）求證：平面BDE；
（Ⅱ）求平面BCEF與平面ABD所成二面角（銳角）的大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2 DE＝2，M為AD中點．

(Ⅰ) 證明；
(Ⅱ) 若二面角A－BF－D的平面角的余弦值為，求AB的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）
如圖1，在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，，,現(xiàn)將梯形沿CB、DA折起，使且，得一簡單組合體如圖2示，已知分別為的中點．

圖1                                圖2
（1）求證：平面；
（2）求證：；
（3）當多長時，平面與平面所成的銳二面角為？

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖，在多面體中，平面∥平面， ⊥平面，,,∥．
且 , ．

（Ⅰ）求證：平面;
（Ⅱ）求證：∥平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

正三棱柱中，E為AC中點

（1）求證： 
（2）求證：，

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