Question

20．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足a₁=1，a₁+a₂+…+a_n-1=$\frac{1}{2}$a_n-2^n-1+$\frac{1}{2}$（n∈N^*）
（1）設(shè)c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$（n∈N⁺），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=n（a_n+2ⁿ），求數(shù)列{b_n}的n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁+a₂+…+a_n-1=S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n-2^n-1+$\frac{1}{2}$（n∈N^*），當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=$\frac{1}{2}{a}_{n+1}-{2}^{n}$+$\frac{1}{2}$，利用遞推關(guān)系可得：化為$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}×\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}$，即${c}_{n+1}=\frac{3}{2}{c}_{n}+\frac{1}{2}$，化為c_n+1+1=$\frac{3}{2}$（c_n+1），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）b_n=n（a_n+2ⁿ）=n•3ⁿ，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁+a₂+…+a_n-1=S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n-2^n-1+$\frac{1}{2}$（n∈N^*），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=$\frac{1}{2}{a}_{n+1}-{2}^{n}$+$\frac{1}{2}$，
化為a_n=$\frac{1}{2}{a}_{n+1}-\frac{1}{2}{a}_{n}$-2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}×\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}$，
∴${c}_{n+1}=\frac{3}{2}{c}_{n}+\frac{1}{2}$，
化為c_n+1+1=$\frac{3}{2}$（c_n+1），
∴數(shù)列{c_n+1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{3}{2}$，公比為$\frac{3}{2}$．
∴c_n+1=$（\frac{3}{2}）^{n}$，
∴c_n=$（\frac{3}{2}）^{n}$-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$（\frac{3}{2}）^{n}$-1，
∴a_n=3ⁿ-2ⁿ．
（2）b_n=n（a_n+2ⁿ）=n•3ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}的n項(xiàng)和T_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，
3T_n=3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{（1-2n）•{3}^{n+1}-3}{2}$，
∴T_n=$\frac{（2n-1）×{3}^{n+1}+3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．