已知點P1(x0,y0)為雙曲線(b為正常數(shù))上任一點,F2為雙曲線的右焦點,過P1作右準線的垂線,垂足為A,連接F2A并延長交y軸于點P2.

 (1)求線段P1P2的中點P的軌跡E的方程;

(2)設軌跡E與x軸交于B,D兩點,在E上任取一點Q(x1,y1)(y1≠0),直線QB,QD分別交y軸于M,N兩點.求證：以MN為直徑的圓過兩定點.

(1)由已知得F2(3b,0),A(,y0),

則直線F2A的方程為,

令x=0得y=9y0,即P2(0,9y0).

設P(x,y),則

即

代入,得,

即P的軌跡E的方程為.

 (2)在中,

令y=0得x2=2b2,則不妨設B(,0),D(,0),

于是直線QB的方程為,

直線QD的方程為,

可得M(0,),N(0,),

則以MN為直徑的圓的方程為x2+()()=0,

令y=0得,

而Q(x1,y1)在上,

則,

于是x=±5b,

即以MN為直徑的圓過兩定點(-5b,0),(5b,0).

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網已知點P1（x0，y0）為雙曲線
x2
8b2
-
y2
b2
=1（b為正常數(shù)）上任一點，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點，過P1作右準線的垂線，垂足為A，連接F2A并延長交y軸于P2．
（1）求線段P1P2的中點P的軌跡E的方程；
（2）設軌跡E與x軸交于B、D兩點，在E上任取一點Q（x1，y1）（y1≠0），直線QB，QD分別交y軸于M，N兩點．求證：以MN為直徑的圓過兩定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P1（x0，y0）為雙曲線
x2
3b2
-
y2
b2
=1(b＞0，b為常數(shù))上任意一點，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點，過P1作右準線的垂線，垂足為A，連接F2A并延長交y軸于點P2
（1）求線段P1P2的中點P的軌跡E的方程；
（2）是否存在過點F2的直線l，使直線l與（1）中軌跡在y軸右側交于R1、R2兩不同點，且滿足
OR1
•
OR2
=4b2，（O為坐標原點），若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由；
（3）設（1）中軌跡E與x軸交于B、D兩點，在E上任取一點Q（x1，y1）（y1≠0），直線QB、QD分別交y軸于M、N點，求證：以MN為直徑的圓恒過兩個定點．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009年高考數(shù)學理科(江西卷) 題型：044

已知點P1(x0，y0)為雙曲線為正常數(shù))上任一點F2為雙曲線的右焦點，過P1作右準線的垂線，垂足為A，連接F2A并延長交y軸于點P2．

(1)求線段P1P2的中點P的軌跡F的方程；

(2)設軌跡E與x軸交于B，D兩點，在E上任取一點Q(x1，y1)(y≠0)，直線QB，QD分別交于y軸于M，N兩點．求證：以MN為直徑的圓過兩定點．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知點P1（x0，y0）為雙曲線
x2
3b2
-
y2
b2
=1(b＞0，b為常數(shù))上任意一點，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點，過P1作右準線的垂線，垂足為A，連接F2A并延長交y軸于點P2
（1）求線段P1P2的中點P的軌跡E的方程；
（2）是否存在過點F2的直線l，使直線l與（1）中軌跡在y軸右側交于R1、R2兩不同點，且滿足
OR1
•
OR2
=4b2，（O為坐標原點），若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由；
（3）設（1）中軌跡E與x軸交于B、D兩點，在E上任取一點Q（x1，y1）（y1≠0），直線QB、QD分別交y軸于M、N點，求證：以MN為直徑的圓恒過兩個定點．

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