Question

某同學(xué)在研究函數(shù)y=f（x）（x≥1，x∈R）的性質(zhì)，他已經(jīng)正確地證明了函數(shù)f（x）滿足：f（3x）=3f（x），并且當(dāng)1≤x≤3時(shí)，f（x）=1-|x-2|，這樣對(duì)任意x≥1，他都可以求f（x）的值了．則
（1）f（8）=________；
（2）集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是________．

Answer 1

解：（1）∵當(dāng)1≤x≤3時(shí)，f（x）=1-|x-2|，
∴當(dāng)3≤x≤9時(shí)，f（）=1-|-2|，可得f（）=1-|-2|=，
又∵對(duì)任意x≥1，都有f（3x）=3f（x），
∴f（8）=3f（）=1
（2）根據(jù)題意，得
當(dāng)3≤x≤9時(shí)，f（x）=3f（）=3-|3x-6|；
當(dāng)9≤x≤27時(shí)，f（）=3-|3•-6|=3-|x-6|，此時(shí)f（x）=3f（）=9-|3x-18|；
當(dāng)27≤x≤81時(shí)，f（）=9-|3•-18|=9-|x-18|，此時(shí)f（x）=3f（）=27-|3x-54|；
當(dāng)81≤x≤243時(shí)，f（）=27-|3•-54|=27-|x-54|，此時(shí)f（x）=3f（）=81-|3x-162|．
由此可得f（99）=81-|3×99-162|=-54
接下來(lái)解方程f（x）=-54：
當(dāng)27≤x≤81時(shí)，27-|3x-54|=-54，得3x-54=±81，所以x=45（舍負(fù)）；
當(dāng)9≤x≤27時(shí)，9-|3x-18|=-54，得3x-18=±63，找不到符合條件的x；
當(dāng)3≤x≤9時(shí)，3-|3x-6|=-54，得3x-6=±57，找不到符合條件的x．
因此集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是45
故答案為：1 45
分析：（1）當(dāng)3≤x≤9時(shí)，f（）=1-|-2|，得到f（）=，再根據(jù)f（3x）=3f（x），得到f（8）=3f（）=1．
（2）根據(jù)題意，求出當(dāng)3≤x≤9時(shí)的表達(dá)式，同理求出當(dāng)9≤x≤27時(shí)、當(dāng)27≤x≤81時(shí)和當(dāng)81≤x≤243時(shí)的表達(dá)式，從而得到f（99）=-54，然后解方程f（x）=-54，即可得到集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素．
點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)特殊函數(shù)為例，叫我們討論方程的最小正數(shù)解，著重考查了函數(shù)的定義、分段函數(shù)和方程根的分布等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．