Question

已知函數(shù)在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線(xiàn)l的斜率為零．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若對(duì)任意的x₁，x₂∈[m，m+3]，不等式恒成立，這樣的m是否存在？若存在，請(qǐng)求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出x＞0時(shí)的f'（x），再由f'（1）=0求出a的值；
（Ⅱ）把a(bǔ)的值代入解析式，分別求x＞0時(shí)和x≤0時(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x），再求出f'（x）＞0和f'（x）＜0對(duì)應(yīng)的x范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）求出的單調(diào)區(qū)間，對(duì)m進(jìn)行分三類(lèi)進(jìn)行討論：當(dāng)m＞1時(shí)、當(dāng)0＜m≤1時(shí)，當(dāng)m≤0時(shí)，利用在區(qū)間[m，m+3]上的單調(diào)性，分別求出最大值和最小值，然后作差判斷是否滿(mǎn)足，最后再三種結(jié)果并在一起．
解答：解：（Ⅰ）由題意當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）=3ax²+x-2，且f'（1）=0，
∴3a+1-2=0，解得，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，                                             
當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）=x²+x-2=（x+2）（x-1），
∴x∈[0，1）時(shí)，f'（x）＜0；x∈（1，+∞）時(shí)f'（x）＞0．                            
當(dāng)x≤0時(shí)，f'（x）=xe^x+e^x=（x+1）e^x，
∴x∈（-∞，-1）時(shí)f'（x）＜0；x∈（-1，0）時(shí)f'（x）＞0．                           
∴f（x）在（-1，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增；
在[0，1），（-∞，-1）上單調(diào)遞減．                                                
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，①當(dāng)m＞1時(shí)，f（x）在[m，m+3]上遞增，
故f_max（x）=f（m+3），f_min（x）=f（m），
由
=
=，
∵m＞1，∴3（m+2）²，
即，此時(shí)m不存在，
②當(dāng)0＜m≤1時(shí)，f（x）在[m，1]上遞減，在[1，m+3]上遞增，
故．
∴，
∴0＜m≤1時(shí)，符合題意．                                                          
③當(dāng)m≤0時(shí)，m+3≤3，
∴．0≤x＜3時(shí)，；
x＜0時(shí)，f（-1）≤f（x）＜0，即．
∴x₁，x₂∈[m，m+3]時(shí)，，
∴m≤0時(shí)，符合題意．                                                            
綜上，存在m∈（-∞，1]使原不等式恒成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，以及恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值等綜合應(yīng)用，考查了分類(lèi)討論思想和轉(zhuǎn)化思想，難度較大．