Question

20．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：$f（{x+1}）=\frac{1}{f（x）}$，并且$x∈[{-1，1}]，f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x+a，-1≤x＜0}\\{|{\frac{2}{5}-x}|，0≤x＜1}\end{array}}\right.$，若$f（{-\frac{5}{2}}）=f（{\frac{9}{2}}）$，則f（5a）=（　�。�

• A． $\frac{7}{16}$
• B． $-\frac{2}{5}$
• C． $\frac{11}{16}$
• D． $\frac{13}{16}$

Answer 1

分析 由已知得f（x+2）=$\frac{1}{f（x+1）}=f（x）$，從而f（-$\frac{5}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}+a$，f（$\frac{9}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=|$\frac{2}{5}-\frac{1}{2}$|=$\frac{1}{10}$，由$f（{-\frac{5}{2}}）=f（{\frac{9}{2}}）$，得a=$\frac{3}{5}$，由此能求出f（5a）．

解答 解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：$f（{x+1}）=\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+2）=$\frac{1}{f（x+1）}=f（x）$，
∵$x∈[{-1，1}]，f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x+a，-1≤x＜0}\\{|{\frac{2}{5}-x}|，0≤x＜1}\end{array}}\right.$，
∴f（-$\frac{5}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}+a$，
f（$\frac{9}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=|$\frac{2}{5}-\frac{1}{2}$|=$\frac{1}{10}$，
∵$f（{-\frac{5}{2}}）=f（{\frac{9}{2}}）$，
∴-$\frac{1}{2}+a=\frac{1}{10}$，解得a=$\frac{3}{5}$，
∴f（5a）=f（3）=f（-1）=-1+$\frac{3}{5}$=-$\frac{2}{5}$．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．