Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=-1，前12項(xiàng)和S₁₂=186．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足bn=(

1

2

)an，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：Tn＜

16

7

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)a₁=-1，S₁₂=186，確定數(shù)列的公差，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)b1=(

1

2

)-1=2，公比q=

1

8

，求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₁=-1，S₁₂=186，∴S12=12a1+

12×11

2

d，…（2分）
即 186=-12+66d．…（4分）
∴d=3．…（5分）
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式 a_n=-1+（n-1）×3=3n-4．…（7分）
（Ⅱ）證明：∵bn=(

1

2

)an，a_n=3n-4，∴bn=(

1

2

)3n-4．…（8分）
∵當(dāng)n≥2時(shí)，

bn

bn-1

=(

1

2

)3=

1

8

，…（9分）
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)b1=(

1

2

)-1=2，公比q=

1

8

．…（10分）
∴Tn=

2[1-( 1 8 )n]

1- 1 8

=

16

7

×[1-(

1

8

)n]．…（12分）
∵0＜

1

8

＜1，∴0＜(

1

8

)n＜1(n∈N*)，
∴1-(

1

8

)n＜1(n∈N*)．…（13分）
∴Tn=

16

7

×[1-(

1

8

)n]＜

16

7

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查等比數(shù)列的求和公式，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項(xiàng)，正確運(yùn)用求和公式．