Question

1．直線l過(guò)拋物線y²=x的焦點(diǎn)F，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸上方．若直線l的傾斜角θ≥$\frac{π}{4}$，則|FA|的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），依題意可求得拋物線y²=x的焦點(diǎn)F（$\frac{1}{4}$，0）與準(zhǔn)線方程x=-$\frac{1}{4}$，利用拋物線的定義，將|AF|轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到其準(zhǔn)線的距離，通過(guò)解方程組即可求得|FA|的最大值，從而可得|AF|的取值范圍．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），依題意，拋物線y²=x的焦點(diǎn)F（$\frac{1}{4}$，0），準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{1}{4}$，
由拋物線的定義知，|FA|=x₁+$\frac{1}{4}$
當(dāng)θ=180°時(shí)，x₁=0，|FA|=$\frac{1}{4}$，此時(shí)直線和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，與題意不符；
當(dāng)θ=45°時(shí)，|FA|最大，此時(shí)直線FA的方程為：y=x-$\frac{1}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=x}\\{y=x-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$得x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{16}$=0，
解得x=$\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}$或x=$\frac{3}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍）．
∴|FA|_max=$\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{4}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴|AF|的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
故答案為：（$\frac{1}{4}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查方程思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．