Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sin²x，1），$\overrightarrow$=（1，2$\sqrt{3}$sinxcosx+1），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$（x∈R）．求：
（1）f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最值，并求f（x）取得最值時(shí)對應(yīng)x的值．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和二倍角公式、降冪公式，化簡函數(shù)解析式，然后，確定其周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，結(jié)合三角函數(shù)的最值和函數(shù)的圖象進(jìn)行求解其最值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$（x∈R）
=2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+1
=1-cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2，
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{3}$+2kπ≤2x≤$\frac{2π}{3}$+2kπ，
∴-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，
∴單調(diào)遞增區(qū)間[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，（k∈Z）．
（2）根據(jù)（1）知，
f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2，
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴0≤2x≤π，
∴-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$時(shí)，該函數(shù)取得最大值4，
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$即x=0時(shí)，該函數(shù)取得最小值1，

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查了二倍角公式、輔助角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．