Question

已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna（a＞1）
（Ⅰ）若函數(shù)y=|f（x）-b+

1

b

|-3有四個零點，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若對于任意的x₁，x₂∈[-1，1]時，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e²-2（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點的判定定理

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）求導函數(shù)，即可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．先判斷函數(shù)f（x）的極小值，再由函數(shù)有四個零點，進行等價轉(zhuǎn)化方程有解問題，去掉絕對值，變成兩個方程，即可解出b的范圍；
（Ⅱ）|f（x₁）-f（x₂）|≤e²-2等價于求出函數(shù)在[-1，1]上的最大值和最小值即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（I）∵f（x）=a^x+x²-xlna（a＞1）．
∴求導函數(shù)，可得f′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
由于a＞1，
∴l(xiāng)na＞0，當x＞0時，a^x-1＞0，
∴f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∴f（x）_min=f（0）=1，
由|f（x）-b+

1

b

|-3=0，
得：f（x）=b-

1

b

+3，或f（x）=b-

1

b

-3，
∵函數(shù)y=|f（x）-b+

1

b

|-3有四個零點，
∴

b- 1 b +3＞1 b- 1 b -3＞1

，
∴b-

1

b

＞4，
解得：b＞2+

5

，2-

5

＜b＜0，
∴b的范圍是（2-

5

，0）∪（2+

5

，+∞），
（Ⅱ）若對于任意的x₁，x₂∈[-1，1]時，
由（Ⅰ）知，f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）的最小值為f（0）=1，
總而再來比較f（-1），與f（1）的大小即可，
f（-1）=

1

a

+1+lna，f（1）=a+1-lna，
則f（1）-f（-1）=a-

1

a

-2lna，
設(shè)g（a）=a-

1

a

-2lna，（a＞1），
則g′（a）=(

1

a

-1)2＞0，
即g（a）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（a）＞g（1）=1-1=0，
則g（a）＞0，
則f（1）＞f（-1），
則f（1）是函數(shù)f（x）的最大值，即f（1）=a+1-lna，
故對?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（1）-f（0）|=a-lna，
∴等價為a-lna≤e²-2，
令h（x）=x-lnx（x＞1），
h′（x）=1-

1

x

＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
又a＞1，∴h（a）=a-lna≤e²-2=h（e²）
解得a≤e²；
∴a的范圍是（1，e²）．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是利用導數(shù)確定函數(shù)的最值．