【題目】如圖所示，三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且底面是邊長為2的正三角形，，點D，E，F分別是所在棱的中點.

（1）在線段上找一點使得平面∥平面，給出點的位置并證明你的結(jié)論；

（2）在（1）的條件下，求二面角的余弦值.

【答案】（1）點與點重合，證明見解析，（2）

【解析】

（1）首先連接，.根據(jù)三角形中位線得到，根據(jù)四邊形是平行四邊形，得到，即證平面∥平面.

（2）首先以點為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.分別求平面和平面的法向量，再代入二面角公式計算即可.

（1）點與點重合，證明如下：

連接，.

因為分別是和的中點，所以.

因為平面，平面，所以平面.

因為分別是和的中點，所以，且，

所以四邊形是平行四邊形，所以.

因為平面，平面，所以平面.

又因為，所以平面平面.

（2）以點為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸，軸，軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由（1）可得二面角即.

則，，.

所以，.

因為平面平面，所以平面的法向量即平面的法向量，

設(shè)為，則.

令，則.

因為，，.

所以，.

設(shè)平面的一個法向量為.

則，

令，則.

則.

由圖易知二面角的平面角是銳角，所以余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某小區(qū)隨機(jī)抽取40個家庭，收集了這40個家庭去年的月均用水量（單位：噸）的數(shù)據(jù)，整理得到頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖.

（1）求頻率分布直方圖中的值；

（2）從該小區(qū)隨機(jī)選取一個家庭，試估計這個家庭去年的月均用水量不低于6噸的概率；

（3）在這40個家庭中，用分層抽樣的方法從月均用水量不低于6噸的家庭里抽取一個容量為7的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任意選取2個家庭，求其中恰有一個家庭的月均用水量不低于8噸的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績分布在的范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上（含50）的作文被評為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.

（1）求的值；

（2）填寫下面列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)？

文科生

理科生

合計

獲獎

6

不獲獎

合計

400

（3）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學(xué)生中，任意抽取2名學(xué)生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：，其中.

.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點P是橢圓上異于短軸端點A，B的任意一點，過點P作軸于Q，線段PQ的中點為M.直線AM與直線交于點N，D為線段BN的中點，設(shè)O為坐標(biāo)原點，試判斷以OD為直徑的圓與點M的位置關(guān)系.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在考察疫情防控工作中，某區(qū)衛(wèi)生防控中心提出了“要堅持開展愛國衛(wèi)生運(yùn)動，從人居環(huán)境改善、飲食習(xí)慣、社會心理健康、公共衛(wèi)生設(shè)施等多個方面開展，特別是要堅決杜絕食用野生動物的陋習(xí)，提倡文明健康、綠色環(huán)保的生活方式”的要求.某小組通過問卷調(diào)查，隨機(jī)收集了該區(qū)居民六類日常生活習(xí)慣的有關(guān)數(shù)據(jù).六類習(xí)慣是：（1）衛(wèi)生習(xí)慣狀況類；（2）垃圾處理狀況類；（3）體育鍛煉狀況類；（4）心理健康狀況類；（5）膳食合理狀況類；（6）作息規(guī)律狀況類.經(jīng)過數(shù)據(jù)整理，得到下表：

衛(wèi)生習(xí)慣狀況類

垃圾處理狀況類

體育鍛煉狀況類

心理健康狀況類

膳食合理狀況類

作息規(guī)律狀況類

有效答卷份數(shù)

380

550

330

410

400

430

習(xí)慣良好頻率

0.6

0.9

0.8

0.7

0.65

0.6

假設(shè)每份調(diào)查問卷只調(diào)查上述六類狀況之一，各類調(diào)查是否達(dá)到良好標(biāo)準(zhǔn)相互獨立.

（1）從小組收集的有效答卷中隨機(jī)選取1份，求這份試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理狀況類中習(xí)慣良好者的概率；

（2）從該區(qū)任選一位居民，試估計他在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣方面，至少具備兩類良好習(xí)慣的概率；

（3）利用上述六類習(xí)慣調(diào)查的排序，用“”表示任選一位第k類受訪者是習(xí)慣良好者，“”表示任選一位第k類受訪者不是習(xí)慣良好者（）.寫出方差，，，，，的大小關(guān)系.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】九章算術(shù)中有一題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬，”馬主曰：“我馬食半�！�，今欲衰償之，問各出幾何？其意：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，苗主人要求賠償五斗粟，羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例償還，問羊的主人應(yīng)賠償______斗粟，在這個問題中牛主人比羊主人多賠償______斗粟．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)在上存在兩個極值點，，且，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面， 垂直于和，為棱上的點，，.

（1）若為棱的中點，求證：//平面；

（2）當(dāng)時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；

（3）在第（2）問條件下，設(shè)點是線段上的動點，與平面所成的角為，求當(dāng)取最大值時點的位置.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從拋物線上各點向x軸作垂線，垂線段中點的軌跡為E.

（1）求曲線E的方程；

（2）若直線與曲線E相交于A，B兩點，求證：；

（3）若點F為曲線E的焦點，過點的直線與曲線E交于M，N兩點，直線，分別與曲線E交于C，D兩點，設(shè)直線，斜率分別為，求的值.

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