Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

2

x²-1+cosx（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）a=1時，f（x）=

1

2

x²-1+cosx，先求出f′（x）=x-sinx，令g（x）=x-sinx，得g（x）為增函數(shù)，從而f（x）在（0，+∞）遞增，又f（x）為偶函數(shù)，
得出f（x）在（-∞，0）遞減，從而求出函數(shù)的最值．
（2）由題意得：f′（x）=ax-sinx≥0在（0，+∞）上恒成立，分別討論a≥1時，0＜a＜1時的情況，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）a=1時，f（x）=

1

2

x²-1+cosx，f′（x）=x-sinx，
令g（x）=x-sinx，則g′（x）=1-cosx≥0恒成立，
∴g（x）為增函數(shù)，
故x∈（0，+∞）時，g（x）＞g（0）=0，
∴x∈（0，+∞）時，f′（x）＞f′（0）=0，
∴f（x）在（0，+∞）遞增，
又f（x）為偶函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，0）遞減，
∴f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上的最小值為f（0）=0，
最大值為f（-

π

2

）=f（

π

2

）=

π2

8

-1，
（2）由題意得：f′（x）=ax-sinx≥0在（0，+∞）上恒成立，
a≥1時，對?x∈（0，+∞），恒有ax≥x＞sinx，
此時f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）遞增，滿足題意，
0＜a＜1時，令h（x）=ax-sinx，
∴h′（x）=a-cosx，
由h′（x）=0，解得：a=cosx，
∴一定存在x₀∈（0，

π

2

）使得a=cosx，
且當(dāng)x∈（0，x₀）時，h′（x）＜0，h（x）在（0，x₀）遞減，
此時h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0
∴f（x）在（0，x₀）遞減，
這與f（x）在（0，+∞）遞增矛盾，
綜上，a≥1．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想，是一道綜合題．