Question

13．已知函數(shù)f（x）=alnx^x+bx的圖象過點(diǎn)（$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{e}$），且在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+y-e=0垂直（e為自然數(shù)的底數(shù)，且e=2.71828…）
（1）求a、b的值；
（2）若存在x₀∈[$\frac{1}{e}$，e]，使得不等式f（x₀）+$\frac{1}{2}$x₀²-$\frac{1}{2}$tx₀≥-$\frac{3}{2}$成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，結(jié)合兩直線垂直的條件，代入已知點(diǎn)，解方程可得a=1，b=0；
（2）由（1）知f（x）=xlnx，由題意可得$f（x）+\frac{1}{2}{x^2}-\frac{1}{2}tx≥-\frac{3}{2}$，即$xlnx+\frac{1}{2}{x^2}-\frac{1}{2}tx≥-\frac{3}{2}$，則$t≤2lnx+x+\frac{3}{x}$．構(gòu)造函數(shù)$h（x）=2lnx+x+\frac{3}{x}，x∈[{\frac{1}{e}，e}]$，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求得最小值即可得到t的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=alnx^x+bx=axlnx+bx，
∴f′（x）=alnx+a+b．
又點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+y-e=0垂直，
∴f'（1）=a+b=1．
又∵f（x）=alnx^x+bx的圖象過點(diǎn)$（{\frac{1}{e}，-\frac{1}{e}}）$，
∴$f（{\frac{1}{e}}）=-\frac{a}{e}+\frac{e}=-\frac{1}{e}$，即a-b=1，
∴a=1，b=0；
（2）由（1）知f（x）=xlnx，
由題意可得$f（x）+\frac{1}{2}{x^2}-\frac{1}{2}tx≥-\frac{3}{2}$，即$xlnx+\frac{1}{2}{x^2}-\frac{1}{2}tx≥-\frac{3}{2}$，
則$t≤2lnx+x+\frac{3}{x}$．
若存在 ${x_0}∈[{\frac{1}{e}，e}]$，使得不等式$f（{x_0}）+\frac{1}{2}{x_0}^2-\frac{1}{2}t{x_0}≥-\frac{3}{2}$成立，
只需t小于或等于$2lnx+x+\frac{3}{x}，x∈[{\frac{1}{e}，e}]$的最大值．
設(shè)$h（x）=2lnx+x+\frac{3}{x}，x∈[{\frac{1}{e}，e}]$，
則$h'（x）=\frac{{（{x+3}）（{x-1}）}}{x^2}$，當(dāng)$x∈[{\frac{1}{e}，1}]$時(shí)，h'（x）＜0；
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，h'（x）＞0．
故h（x）在$[{\frac{1}{e}，1}]$上單調(diào)遞減，在[1，e]上單調(diào)遞增．
∵$h（e）=2lne+e+\frac{3}{e}=2+e+\frac{3}{e}$，$h（{\frac{1}{e}}）=2ln\frac{1}{e}+\frac{1}{e}+3e=-2+\frac{1}{e}+3e$，
∴$h（{\frac{1}{e}}）-h（e）=2e-\frac{2}{e}-4＞0$，∴$h（{\frac{1}{e}}）＞h（e）$，
故當(dāng)$，x∈[{\frac{1}{e}，e}]$時(shí)，h（x）的最大值為$h（{\frac{1}{e}}）=-2+\frac{1}{e}+3e$，
故$t≤-2+\frac{1}{e}+3e$，
即實(shí)數(shù)t的取值范圍是：$（{-∞，-2+\frac{1}{e}+3e}]$．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，判斷單調(diào)性求得最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．