Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)與橢圓4x²+5y²=20的一個(gè)焦點(diǎn)相同，
（1）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)與離心率；
（2）求拋物線方程．

Answer 1

分析：（1）由橢圓方程為

x2

5

+

y2

4

=1，可得a²=5，b²=4，再利用c²=a²-b²得到c，即可得到焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；
（2）利用（1）可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到拋物線的方程．

解答：解：（1）橢圓方程為

x2

5

+

y2

4

=1，
∴a²=5，b²=4，c²=a²-b²=1，
∴a=

5

，b=2，c=1．
∴橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（1，0），
離心率e=

c

a

=

5

5

；
（2）①若拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），則設(shè)拋物線的方程為y²=2px，
∴

p

2

=1，則p=2，
∴所求拋物線的方程為y²=4x．
②若拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），
則設(shè)拋物線的方程為y²=-2px，
∴

p

2

=1，則p=2，∴所求拋物線的方程為y²=-4x．
綜上可得：拋物線的方程為y²=±4x

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．