Question

如圖，直線(xiàn)l₁和l₂相交于點(diǎn)M，l₁⊥l₂，點(diǎn)N∈l₁．以A，B為端點(diǎn)的曲線(xiàn)段C上的任一點(diǎn)到l₂的距離與到點(diǎn)N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，|AM|=

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，|AN|=3，且|BN|=6．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線(xiàn)段C的方程．

Answer 1

分析：方法一：由拋物線(xiàn)的定義知該曲線(xiàn)段是一段拋物線(xiàn)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，依據(jù)題意求參數(shù)值．用定義法寫(xiě)出拋物線(xiàn)的方程．
方法二：建立相應(yīng)的坐標(biāo)系，設(shè)出曲線(xiàn)段C上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y），依據(jù)題意曲線(xiàn)段C上的任一點(diǎn)到l₂的距離與到點(diǎn)N的距離相等得出方程整理即得拋物線(xiàn)的方程．

解答：解：法一：如圖建立坐標(biāo)系，
以l₁為x軸，MN的垂直平分線(xiàn)為y軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
依題意知：曲線(xiàn)段C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以l₂為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)的一段，其中A，B分別為C的端點(diǎn)．
設(shè)曲線(xiàn)段C的方程為
y²=2px（p＞0），（x_A≤x≤x_B，y＞0），
其中x_A，x_B分別為A，B的橫坐標(biāo)，p=|MN|．
所以M（-

p

2

，0），N（

p

2

，0）．
由|AM|=

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，|AN|=3得
（x_A+

p

2

）²+2px_A=17，①
（x_A-

p

2

）²+2px_A=9．②
由①，②兩式聯(lián)立解得x_A=

4

p

．再將其代入①式并由p＞0解得

p=4 xA=1

或

p=2 xA=2.

因?yàn)椤鰽MN是銳角三角形，所以

p

2

＞x_A，故舍去

p=2 xA=2

所以p=4，x_A=1．
由點(diǎn)B在曲線(xiàn)段C上，得x_B=|BN|-

p

2

=4．
綜上得曲線(xiàn)段C的方程為
y²=8x（1≤x≤4，y＞0）．

解法二：如圖建立坐標(biāo)系，
分別以l₁、l₂為x、y軸，M為坐標(biāo)原點(diǎn)．
作AE⊥l₁，AD⊥l₂，BF⊥l₂，垂足分別為E、D、F．
設(shè)A（x_A，y_A）、B（x_B，y_B）、N（x_N，0）．
依題意有
x_A=|ME|=|DA|=|AN|=3，
y_A=|DM|=

|AM|2-|DA|2

=2

2

，
由于△AMN為銳角三角形，故有
x_N=|ME|+|EN|
=|ME|+

|AN|2-|AE|2

=4
x_B=|BF|=|BN|=6．
設(shè)點(diǎn)P（x，y）是曲線(xiàn)段C上任一點(diǎn)，則由題意知P屬于集合
{（x，y）|（x-x_N）²+y²=x²，x_A≤x≤x_B，y＞0}．
故曲線(xiàn)段C的方程為y²=8（x-2）（3≤x≤6，y＞0）．

點(diǎn)評(píng)：考查利用坐標(biāo)法求軌跡方程，以及拋物線(xiàn)的定義，本題主要是訓(xùn)練利用符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行運(yùn)算的能力．