Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時，f（x）=x²+2x．現(xiàn)已畫出函數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示，并根據(jù)圖象
（1）寫出函數(shù)f（x）（x∈R）的增區(qū)間；
（2）寫出函數(shù)f（x）（x∈R）的解析式；
（3）求函數(shù)f（x）x∈[0，3]的值域．

Answer 1

解：（1）由圖象可知當(dāng)x＜0時，函數(shù)的增區(qū)間為（-1，0）．又因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以在對稱區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性相反，
所以當(dāng)x＞0時，函數(shù)的增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）設(shè)x＞0，則-x＜0，又當(dāng)x≤0時，f（x）=x²+2x，所以f（-x）=x^2-2x．
又函數(shù)為偶函數(shù)，所以f（-x）=x^2-2x=f（x），所以當(dāng)x＞0時f（x）=x^2-2x．
所以函數(shù)的解析式為．
（3）由題意知，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，3）上單調(diào)遞增，
f（0）=0，f（1）=-1，f（3）=3，所以f（x）x∈[0，3]的值域為[-1，3]．
分析：（1）由圖象可以寫出增區(qū)間．（2）利用函數(shù)是偶函數(shù)，可求當(dāng)x＞0時的解析式．（3）結(jié)合圖象可求函數(shù)的值域．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．