Question

已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)為拋物線C上的一點(diǎn)，且的外接圓圓心到準(zhǔn)線的距離為．

（I）求拋物線C的方程；

（II）若圓F的方程為，過(guò)點(diǎn)P作圓F的2條切線分別交軸于點(diǎn)，求面積的最小值時(shí)的值．

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）.

【解析】

試題分析：（I）先求圓心縱坐標(biāo)，再由圓心到準(zhǔn)線的距離，可求的值，從而得拋物線的方程；（II）先設(shè)過(guò)點(diǎn)斜率存在的直線方程，根據(jù)直線與圓相切，可得兩切線的斜率關(guān)系，然后得兩點(diǎn)坐標(biāo)，可得，然后再求三角形PMN的面積，再利用導(dǎo)數(shù)判斷面積的單調(diào)性而求最小值，再得的值.

試題解析：（I）的外接圓的圓心在直線OF，F(xiàn)P的中垂線交點(diǎn)上，且直線OF的中垂線為直線，則圓心的縱坐標(biāo)為，                   1分

故到準(zhǔn)線的距離為.          2分

從而p=2，即C的方程為.                  5分

（II）設(shè)過(guò)點(diǎn)P斜率存在的直線為，則點(diǎn)F(0，1)到直線的距離

。                7分

令d=1，則，所以。

設(shè)兩條切線PM，PN的斜率分別為，則

，，             9分

且直線PM：，直線PN：，故，

因此  11分

所以               12分

設(shè)，則

令，則 .

在上單點(diǎn)遞減，在上單調(diào)遞增，因此

從而，此時(shí)．  15分

考點(diǎn)：1、拋物線的方程及性質(zhì)；2、直線與圓的位置關(guān)系；3、直線與拋物線相交及與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用