Question

已知函數(shù)f（x）=

x2

1+x2

．
（1）求f（2）與f（

1

2

），f（3）與f（

1

3

）；
（2）由（1）中求得結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)f（x） 與f（

1

x

）有什么關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2009

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將x=2，

1

2

，3，

1

3

代入解析式求出相應(yīng)的函數(shù)值；
（2）由（1）判定出f（x）+f（

1

x

）=1，分別表示出f（x） 與f（

1

x

）即得證；
（3）有（2）的結(jié)論，再求出f（1），得出代數(shù)式的值；

解答： 解：（1）f（2）=

4

5

，f（

1

2

）=

1

5

，f（3）=

9

10

，f（

1

3

）=

1

10

…（4分）
（2）f（x）+f（

1

x

）=1…（6分）
證明：f（x）+f（

1

x

）=

x2

1+x2

+

1 x2

1+ 1 x2

=1…（8分）
（3）f（1）+f（2）+f（3）+…+f(2009)+f(

1

2

)+f(

1

3

)+…+f(

1

2009

)=

4017

2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式求函數(shù)值，屬于一道基礎(chǔ)題．