Question

已知圓心角為120°的扇形AOB的半徑為1，C為弧AB的中點，點D、E分別在半徑OA、OB上．若CD²+CE²+DE²=，則OD+OE的最大值是________．

Answer 1

分析：設(shè)OD=a且OE=b，由余弦定理加以計算，可得CD²+CE²+DE²=2（a²+b²）-（a+b）+ab+2=，配方整理得3ab=2（a+b）²-（a+b）-，結(jié)合基本不等式建立不等關(guān)系，得2（a+b）²-（a+b）-≤（a+b）²，最后以a+b為單位解一元二次不等式，即可得到OD+OE的最大值．
解答：設(shè)OD=a，OE=b，由余弦定理，得
CD²=CO²+DO²-2CO•DOcos60°=a²-a+1．
同理可得CE²=b²-b+1，DE²=a²+ab+b²
從而得到CD²+CE²+DE²=2（a²+b²）-（a+b）+ab+2=
∴2（a²+b²）-（a+b）+ab-=0，
配方得2（a+b）²-（a+b）-3ab-=0，即3ab=2（a+b）²-（a+b）-…（*）
又∵ab≤[（a+b）]²=（a+b）²，
∴3ab≤（a+b）²，代入（*）式，得2（a+b）²-（a+b）-≤（a+b）²，
設(shè)a+b=m，代入上式有2m²-m-≤m²，
即m²-m-≤0，得到-≤m≤，
∴m最大值為，即OD+OE的最大值是．
點評：本題給出扇形AOB的中心角為120°，弧AB中點為C，半徑OA、OB上的點D、E滿足CD²+CE²+DE²=時，求OD+OE的最大值．著重考查了余弦定理、用基本不等式求最值和一元二次不等式的解法等知識，屬于中檔題．