設(shè)l滿足約束條件
3x-y-2≤0
x-y≥0
x≥0,y≥0
,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為1,則
1
a
+
1
b
的最小值為
4
4
分析:作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)取得最大值,確定a,b的關(guān)系,利用基本不等式求
1
a
+
1
b
的最小值.
解答:解:作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:(陰影部分OAC),
由z=ax+by(a>0,b>0),則y=-
a
b
x+
z
b

平移直線y=-
a
b
x+
z
b
,由圖象可知當(dāng)直線y=-
a
b
x+
z
b
經(jīng)過點是,直線的截距最大,此時z最大為1.
3x-y-2=0
x-y=0
,解得
x=1
y=1
.即C(1,1),
代入目標(biāo)函數(shù)z=ax+by得a+b=1.
1
a
+
1
b
=(
1
a
+
1
b
)(a+b)=1+
a
b
+
b
a
+1
=2+
a
b
+
b
a
≥2+2
a
b
b
a
=2+2=4

當(dāng)且僅當(dāng)
a
b
=
b
a
即a=b=
1
2
時取等號,
1
a
+
1
b
的最小值為4.
故答案為:4.
點評:本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的基本方法,利用基本不等式的性質(zhì)可求
1
a
+
1
b
的最小值.
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