Question

已知橢圓C：，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，l為右準(zhǔn)線，過(guò)F的直線l′與橢圓交于異于A點(diǎn)的P、Q兩點(diǎn)．
（1）求的取值范圍；
（2）若AP∩l=M，AQ∩l=N，求證：M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y_i=k（x_i-1）（i=1，2），由消去y得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，利用韋達(dá)定理將=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）最終轉(zhuǎn)化為=，通過(guò)換元即可求得的取值范圍；
（2）右準(zhǔn)線l的方程為x=4，由（1）可求得直線AP與AQ的方程，從而可得點(diǎn)M與點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，點(diǎn)M與點(diǎn)N的縱坐標(biāo)之和為：，通分化簡(jiǎn)可得其結(jié)果為-9，問(wèn)題解決．
解答：解：（1）∵橢圓C：，
∴其右焦點(diǎn)F（1，0），左頂點(diǎn)A（-2，0），
∴設(shè)直線l′斜率為k，則直線l′的方程為：y=k（x-1），
∴由消去y得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y_i=k（x_i-1）（i=1，2），
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=；
∴=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）
=（x₁+2）•（x₂+2）+y₁•y₂
=（x₁+2）•（x₂+2）+k（x₁-1）•k（x₂-1）
=（1+k²）•x₁•x₂+（2-k²）（x₁+x₂）+4+k²
=（1+k²）•+（2-k²）•（）+4+k²
=．
令μ=，則（27-4μ）k²=3μ，
∴k²=≥0，
∴0≤μ＜．
（2）由（1）可得直線AP的方程為：y=（x+2），AQ的方程為：y=（x+2），
∵右準(zhǔn)線l的方程為：x=4，
∴直線AP與l的交點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為：，
同理可得直線AQ與l的交點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為：，
∴+=
=
=
=-9．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，難點(diǎn)在于直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，著重考查方程思想與化歸思想，突出運(yùn)算能力的考查，屬于難題．