Question

11．對(duì)于在區(qū)間[m，n]上有意義的兩個(gè)函數(shù)f（x）和g（x），如果對(duì)于任意的x∈[m，n]，都有|f（x）-g（x）|≤1恒成立，則稱f（x）與g（x）在區(qū)間[m，n]上是接近的，否則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是非接近的，現(xiàn)有函數(shù)f₁（x）=log_a（x-3a），f₂（x）=log_a$\frac{1}{x-a}$（a＞0，a≠1）給定一個(gè)區(qū)間[a+2，a+3]．
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，判斷f₁（x）與f₂（（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上是否是接近的，并說明理由；
（2）若f₁（x）與f₂（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上是接近的，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f₁（x）-f₂（（x）的單調(diào)性和最值，可得|f₁（x）-f₂（x）|∈[1，log₂6]，由新定義即可判斷；
（2）f₁（x）與f₂（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上是接近的?|f₁（x）-f₂（x）|≤1?|log_a（x-3a）-log_a$\frac{1}{x-a}$|≤1?|log_a[（x-3a）（x-a）]|≤1?a≤（x-2a）²-a²≤$\frac{1}{a}$對(duì)于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．

解答 解：（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f₁（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x-$\frac{3}{2}$），f₂（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{x-\frac{1}{2}}$，
f₁（x）-f₂（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x-$\frac{3}{2}$）-$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{x-\frac{1}{2}}$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x-$\frac{3}{2}$）（x-$\frac{1}{2}$）
=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$[（x-1）²-$\frac{1}{4}$]在區(qū)間[$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{2}$]上遞減，
即有x=$\frac{5}{2}$時(shí)，取得最大值，且為-1，
x=$\frac{7}{2}$時(shí)，取得最小值，且為-log₂6，
則|f₁（x）-f₂（x）|∈[1，log₂6]，
即有|f₁（x）-f₂（x）|＞1．
則f₁（x）與f₂（x）在區(qū)間[a+2，a+3]上是非接近的；
（2）f₁（x）與f₂（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上是接近的，
即為|f₁（x）-f₂（x）|≤1?|log_a（x-a）-log_a$\frac{1}{x-a}$|≤1
?|log_a（x-3a）（x-a）|≤1
?a≤（x-2a）²-a²≤$\frac{1}{a}$對(duì)于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．
設(shè)h（x）=（x-2a）²-a²，x∈[a+2，a+3]，
且其對(duì)稱軸x=2a＜2在區(qū)間[a+2，a+3]的左邊，
?$\left\{\begin{array}{l}{a≤h（x）_{min}}\\{\frac{1}{a}≥h（x）_{max}}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{a≤h（a+2）}\\{\frac{1}{a}≥h（a+3）}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{a≤4-4a}\\{\frac{1}{a}≥9-6a}\end{array}\right.$
?$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{4}{5}}\\{a≤\frac{9-\sqrt{57}}{12}或a≥\frac{9+\sqrt{57}}{12}}\end{array}\right.$?0＜a≤$\frac{9-\sqrt{57}}{12}$，
所以，當(dāng)0＜a≤$\frac{9-\sqrt{57}}{12}$，f₁（x）與f₂（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上是接近的．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意函數(shù)恒成立的充要條件的合理運(yùn)用．