Question

函數y=f（x）是定義在R上的偶函數，且f（-1+x）=f（-1-x），當x∈[-2，-1]時，f（x）=t（x+2）³-t（x+2）（t∈R），記函數y=f（x）的圖象在（

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2

，f（

1

2

））處的切線為l，f′（

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2

）=1．
（Ⅰ）求y=f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）點列B₁（b₁，2），B₂（b₂，3），…，B_n（b_n，n+1）在l上，A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），…，A_n（x_n，0）依次為x軸上的點，如圖，當n∈N^*時，點A_n，B_n，A_n+1構成以A_nA_n+1為底邊的等腰三角形．若x₁=a（0＜a＜1），求數列{x_n}的通項公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否存在實數a使得數列{x_n}是等差數列？如果存在，寫出a的一個值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數y=f（x）是定義在R上的偶函數和f（-1+x）=f（-1-x）變形可得f（-1+x）=f（-1-x）=f（1+x），得到f（x）是周期為2的函數，取x∈[0，1]，則有x-2∈[-2，-1]，可化簡f（x），最后由f′(

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2

)=1，求得t，從而得到f（x）．
（Ⅱ）在（I）下，求得切線的方程“B₁（b₁，2），B₂（b₂，3），B_n（b_n，n+1）在l上”求得b_n“點A_n，B_n，A_n+1構成以A_nA_n+1為底邊的等腰三角形”求得x_n+x_n+1=2b_n=2n①，由遞推可得x_n+1+x_n+2=2n+2②兩式相減得x_n+2-x_n=2，間隔項成等差數列．
（Ⅲ）假設{x_n}是等差數列，用等差數列的定義可有n-a-n-1+a=常數，不妨設常數為零則有a=

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2

．

解答：解：（Ⅰ）∵函數y=f（x）是定義在R上的偶函數，且f（-1+x）=f（-1-x）
∴f（-1+x）=f（-1-x）=f（1+x）；
∴y=f（x）是周期為2的函數（1分）
∵當x∈[0，1]時，x-2∈[-2，-1]
∴f（x）=f（x-2）=tx³-tx
由f′(

1

2

)=1可知t=-4
∴f（x）=-4x³+4x，x∈[0，1]

（Ⅱ）∵函數y=f（x）的圖象在( 

1

2

 ， f(

1

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) )處的切線為l，且f′(

1

2

)=1，
∴切線l過點(

1

2

，

3

2

)且斜率為1，
∴切線l的方程為y=x+1
∵B₁（b₁，2），B₂（b₂，3），B_n（b_n，n+1）在l上，有n+1=b_n+1即b_n=n
∵點A_n，B_n，A_n+1構成以A_nA_n+1為底邊的等腰三角形
∴x_n+x_n+1=2b_n=2n①
同理x_n+1+x_n+2=2n+2②兩式相減得x_n+2-x_n=2
∵x₁=a，x₂=2-a
∴xn=

n-1+a，n為奇數 n-a，n為偶數

（Ⅲ）假設{x_n}是等差數列，則n-a-n-1+a=常數，
不妨設常數為零
則有a=

1

2

．
故存在實數a使得數列{x_n}是等差數列．

點評：本題主要考查數列與函數的綜合運用，主要涉及了函數的對稱性，奇偶性，周期性，數列的定義及其通項，屬中檔題．