Question

已知二次函數(shù)y=f（x）經(jīng)過點（1，20），其導(dǎo)函數(shù)f′（x）=4x-22．數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）（n∈N₊）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{|a_n|}前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，求出f（x）=2x²-22x+40，從而得到Sn=2n2-22n+40，由此能求出數(shù)列{a_n}通項公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到|an|=

24-4n，n≤6 4n-24，n≥7

，由此能求出數(shù)列{|a_n|}前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=4x-22，
∴f（x）=2x²-22x+c，
∵y=f（x）經(jīng)過點（1，20），∴c=40，∴f（x）=2x²-22x+40．
∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）（n∈N₊）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
∴Sn=2n2-22n+40，
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n2-22n+40-2(n-1)2+22(n-1)-40
=4n-24，…（3分）
當n=1時，a₁=20
所以數(shù)列通項an=

20，n=1 4n-24，n≥2，n∈N+

．…（3分）
（Ⅱ）∵an=

20，n=1 4n-24，n≥2，n∈N+

，
∴|an|=

24-4n，n≤6 4n-24，n≥7

，
∴當n≤6時，Tn=

(20+24-4n)n

2

=n（22-2n）…（3分）
當n≥7時，Tn=T6+

(4+4n-24)(n-6)

2

=60+（2n-10）（n-6）=2n²-22n+120．
∴T_n=

n(22-2n)，n≤6 2n2-22n+120，n≥7

．（3分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運用．