Question

在周長(zhǎng)為定值的△ABC中，已知，動(dòng)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線G，且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，cosC有最小值．
（1）以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，求曲線G的方程．
（2）過(guò)點(diǎn)（m，0）作圓x²+y²=1的切線l交曲線G于M，N兩點(diǎn)．將線段MN的長(zhǎng)|MN|表示為m的函數(shù)________，并求|MN|的最大值．

Answer 1

解：（1）設(shè)|CA|+|CB|=2a（）為定值，所以C點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，
所以焦距．（2分）
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/326155.png' />
又 ，所以 ，
由題意得．
所以C點(diǎn)軌跡G的方程為（6分）
（2）由題意知，|m|≥1．
當(dāng)m=1時(shí)，切線l的方程為x=1，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（1，-），（1，），此時(shí)|MN|=．
當(dāng)m=-1時(shí)，同理可知|MN|=．（7分）
當(dāng)|m|＞1時(shí)，設(shè)切線l的方程為y=k（x-m），代入橢圓方程，消元得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0．（8分）
設(shè)M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁+x₂=，x₁x₂=，
又由l與圓x²+y²=1相切，得=1，即m²k²=k²+1，
所以|MN|===．（12分）
由于當(dāng)m=±1時(shí)，|MN|=．
所以|MN|=，m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）．
因?yàn)閨MN|==≤2，且當(dāng)m=±時(shí)，|MN|=2．
所以|MN|的最大值為2．（14分）
分析：（1）設(shè)|CA|+|CB|=2a（）為定值，所以C點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，焦距，利用余弦定理及基本不等式，結(jié)合cosC有最小值，即可求得曲線G的方程；
（2）由題意知，|m|≥1，分類討論：當(dāng)m=±1時(shí)，|MN|=；當(dāng)|m|＞1時(shí)，設(shè)切線l的方程為y=k（x-m），代入橢圓方程，消元，由l與圓x²+y²=1相切，得=1，即m²k²=k²+1，由此可得線段MN的長(zhǎng)|MN|表示為m的函數(shù)，利用基本不等式，即可求得|MN|的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查基本不等式的運(yùn)用，考查直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是確定曲線方程與函數(shù)解析式．