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【題目】在平面直角坐標系中，拋物線： ，直線與拋物線交于， 兩點.

（1）若直線， 的斜率之積為，證明：直線過定點；

（2）若線段的中點在曲線： 上，求的最大值.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）直線的方程為，由，得： ，根據韋達定理及斜率公式可得，得，∴直線的方程為，直線過定點；（2）設，則， ，代入拋物線方程可得，由，可得，結合，利用弦長公式可得 .

試題解析：設， ，

（1）由題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為，

由，得： ，

， ， ，

，

由已知： ，所以，

∴直線的方程為，所以直線過定點.

（2）設，則， ，

將帶入： 得：

，∴.

∵，∴，∴，

又∵ ，∴，

故的取值范圍是： .

，將代入得：

，

當且僅當，即時取等號，

所以的最大值為.

練習冊系列答案
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【題目】設p：實數x滿足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0； q：實數x滿足 ＜0．
（1）若a=1，且p∨q為真，求實數x的取值范圍；
（2）若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．

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【題目】我國古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有人持金出五關，前關二而稅一，次關三而稅一，次關四而稅一，次關五而稅一，次關六而稅一，并五關所稅，適重一斤，問本持金幾何”其意思為“今有人持金出五關，第1關收稅金 ，第2關收稅金為剩余金的 ，第3關收稅金為剩余金的 ，第4關收稅金為剩余金的 ，第5關收稅金為剩余金的 ，5關所收稅金之和，恰好重1斤，問原來持金多少？”若將題中“5關所收稅金之和，恰好重1斤，問原來持金多少？”改成假設這個原來持金為x，按此規(guī)律通過第8關，則第8關需收稅金為x．

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【題目】已知橢圓：的四個頂點圍成的四邊形的面積為，原點到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知定點，是否存在過的直線，使與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點？若存在，求出的方程：若不存在，請說明理由.

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【題目】如圖，在幾何體A1B1D1﹣ABCD中，四邊形A1B1BA與A1D1DA均為直角梯形，且AA1⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB=2A1D1=2A1B1=4，AA1=4，P為DD1的中點．
（Ⅰ）求證：AB1⊥PC；
（Ⅱ）求幾何體A1B1D1﹣ABCD的表面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知向量 ， ，函數 ．
（1）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）已知a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊，其中A為銳角， ，c=1，且f（A）=1，求△ABC的面積S．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】函數f（x）= ，若曲線f（x）在點（e，f（e））處的切線與直線e2x﹣y+e=0垂直（其中e為自然對數的底數）．
（1）若f（x）在（m，m+1）上存在極值，求實數m的取值范圍；
（2）求證：當x＞1時， ＞ ．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）=sinωx﹣ cosωx（ω＞0），若方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四個實數根，則實數ω的取值范圍為（ ）
A.（ ， ]
B.（ ， ]
C.（ ， ]
D.（ ， ]

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓 的離心率為 ，四個頂點構成的菱形的面積是4，圓M：（x+1）2+y2=r2（0＜r＜1）．過橢圓C的上頂點A作圓M的兩條切線分別與橢圓C相交于B，D兩點（不同于點A），直線AB，AD的斜率分別為k1 ， k2 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當r變化時，①求k1k2的值；②試問直線BD是否過某個定點？若是，求出該定點；若不是，請說明理由．

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