Question

8．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（λ，5），$\overrightarrow{O{B}_{n}}$=（n（$\frac{2}{3}$）ⁿ，0）（n∈N^*），$\overrightarrow{O{C}_{k}}$=（0，k）（k∈N^*），a_n=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{O{B}_{n}}$，b_k=|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{O{C}_{k}}$|²，λ＞0．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_k}的通項(xiàng)公式；
（2）若對任意n，k∈N^*，總有b_k-a_n＞$\frac{1}{9}$成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到數(shù)列{a_n}，{b_k}的通項(xiàng)公式；
（2）分別分析數(shù)列{a_n}，{b_k}的通項(xiàng)中的最值項(xiàng)，找出使b_k-a_n＞$\frac{1}{9}$成立的不等式${b_5}-{a_2}＞\frac{1}{9}$解之．

解答 解：（ 1）${a_n}=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{O{B_n}}=λn{（\frac{2}{3}）^n}$，${b_k}=|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{O{C_k}}{|^2}={λ^2}+{（k-5）^2}$…（2分）
（ 2）${（{b_k}）_{min}}={b_5}={λ^2}$…（3分）
${a_{n+1}}-{a_n}=λ（n+1）{（\frac{2}{3}）^{n+1}}-λn{（\frac{2}{3}）^n}=λ{(lán)（\frac{2}{3}）^n}\frac{1}{3}[2（n+1）-3n]=λ{(lán)（\frac{2}{3}）^n}\frac{1}{3}（2-n）$
①當(dāng)n=1時(shí)，a₂-a₁＞0即a₁＜a₂；
②當(dāng)n=2時(shí)，a₃-a₂=0即a₃=a₂；
③當(dāng)n≥3時(shí)，${a_{n+1}}-{a_n}=λ{(lán)（\frac{2}{3}）^n}\frac{1}{3}（2-n）＜0$，即a_n＞a_n+1；
由①②③可知${（{a_n}）_{max}}={a_2}={a_3}=\frac{8}{9}λ$…（5分）
所以b_k-a_n≥b₅-a₂
要使對任意n，k∈N^*，總有${b_k}-{a_n}＞\frac{1}{9}$成立，只須滿足${b_5}-{a_2}＞\frac{1}{9}$…（8分）
即${λ^2}-\frac{8}{9}λ＞\frac{1}{9}$，整理得9λ²-8λ-1＞0
解得λ＞1或$λ＜-\frac{1}{9}$（舍去）
∴λ＞1．…（9分）

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及數(shù)列與不等式相結(jié)合的恒成立問題；關(guān)鍵是通過n的取值分析到b_k-a_n≥b₅-a₂．