Question

（a＞b＞0）如圖，已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率為，點(diǎn)A是橢圓上任一點(diǎn)，△AF₁F₂的周長(zhǎng)為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)Q（-4，0）任作一動(dòng)直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記，若在線段MN上取一點(diǎn)R，使得，則當(dāng)直線l轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)R在某一定直線上運(yùn)動(dòng)，求該定直線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用橢圓的定義、及b²=a²-c²即可解出；
（II）由題意知，直線l的斜率必存在，設(shè)其方程為y=k（x+4），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．把直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量，，即可得出坐標(biāo)之間的關(guān)系，消去λ及k即可得出結(jié)論．
解答：解（Ⅰ）∵△AF₁F₂的周長(zhǎng)為，
∴2a+2c=，即．
又，解得a=2，，b²=a²-c²=1．
∴橢圓C的方程為．
（Ⅱ）由題意知，直線l的斜率必存在，
設(shè)其方程為y=k（x+4），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由
得（1+4k²）x²+32k²x+64k²-4=0．
由題意△=（32k²）²-4（1+4k²）（64k²-4）＞0，即12k²-1＜0．
則，．
由，得（-4-x₁，-y₁）=（x₂+4，y₂），
∴-4-x₁=λ（x₂+4），∴．
設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（x，y），由，
得（x-x₁，y-y₁）=-λ（x₂-x，y₂-y），
∴x-x₁=-λ（x₂-x），
解得==，
而2x₁x₂+4（x₁+x₂）==-，
，
∴，
故點(diǎn)R在定直線x=-1上．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、根與系數(shù)的關(guān)系、向量的運(yùn)算性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計(jì)算能力．