Question

13．如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，E是CC₁的中點(diǎn)，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)．
（1）求證：AE∥平面BDF；
（2）求證：A₁C⊥平面BDF；
（3）求三棱錐F-A₁BD的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OF，推導(dǎo)出OF∥AE，由此能證明AE∥平面BDF．
（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明A₁C⊥平面BDF．
（3）求出平面BDF₁的法向量和點(diǎn)A₁到平面DBA₁的距離，由${V}_{F-{A}_{1}BD}={V}_{{A}_{1}-BDF}$利用等體積法能求出三棱錐F-A₁BD的體積．

解答 （1）證明：連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OF，
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，ABCD是正方形，
∴O是AC中點(diǎn)，又F是CE中點(diǎn)，∴OF∥AE，
∵AE?平面BDF，OF?平面BDF，
∴AE∥平面BDF．
（2）證明：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（2，0，0），C₁（0，2，4），B（2，2，0），
D（0，0，0），F(xiàn)（0，2，1），A₁（2，0，4），C（0，2，0），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，2，4），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DF}$=（0，2，1），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-2，2，-4），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{DB}$=-4+4=0，$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{DF}$=0+4-4=0，
∴A₁C⊥DB，A₁C⊥DF，
又DB∩DF=D，∴A₁C⊥平面BDF．
（3）解：$\overrightarrow{D{A}_{1}}$（2，0，4），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DF}$=（0，2，1），
設(shè)平面BDF₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=2y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
點(diǎn)A₁到平面DBA₁的距離d=|$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{2+8}{\sqrt{6}}$|=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$，
O（1，1，0），$\overrightarrow{OF}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{BD}$=-2+2=0，∴OF⊥BD，
∵|$\overrightarrow{OF}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
∴S_△BDF=$\frac{1}{2}×BD×OF$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$，
∴三棱錐F-A₁BD的體積：
${V}_{F-{A}_{1}BD}={V}_{{A}_{1}-BDF}$=$\frac{1}{3}×d×{S}_{△BDF}$=$\frac{1}{3}×\frac{5\sqrt{6}}{3}×\sqrt{6}$=$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．