已知橢圓C中心在原點、焦點在x軸上,橢圓C上的點到焦點的最大值為3,最小值為1.
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+m(k≠0)與橢圓交于不同的兩點M、N(M、N不是左、右頂點),且以MN為直徑的圓經過橢圓的右頂點A.求證:直線l過定點,并求出定點的坐標.
分析:(Ⅰ)由題設條件可知
解得
,由此能夠推導出橢圓C的標準方程.
(Ⅱ)由方程組
消去y,得(3+4k
2)x
2+8kmx+4m
2-12=0,然后結合題設條件利用根的判別式和根與系數(shù)的關系求解.
解答:解:(Ⅰ)設橢圓的長半軸為a,半焦距為c,
則
解得
∴橢圓C的標準方程為
+=1.
(Ⅱ)由方程組
消去y,
得(3+4k
2)x
2+8kmx+4m
2-12=0
由題意:△=(8km)
2-4(3+4k
2)(4m
2-12)>0
整理得:16k
2-3m
2+12>0 ①
設M(x
1,y
1)、N(x
2,y
2),
則
x1+x2=-,
x1x2=由已知,AM⊥AN,且橢圓的右頂點為A(2,0)
∴(x
1-2)(x
2-2)+y
1y
2=0
即(1+k
2)x
1x
2+(km-2)(x
1+x
2)+m
2+4=0
也即
(1+k2)•+(km-2)•+m2+4=0整理得:7m
2+16mk+4k
2=0
解得:m=-2k或
m=-,均滿足①
當m=-2k時,直線l的方程為y=kx-2k,過定點(2,0),舍去
當
m=-時,直線l的方程為
y=k(x-),過定點
(,0),
故直線l過定點,且定點的坐標為
(,0).
點評:本題綜合考查橢圓的性質及應用和直線與橢圓的位置關系,具有較大的難度,解題時要注意的靈活運用.