Question

已知橢圓，（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，離心率，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點F₁的直線l與該橢圓交于M、N兩點，且，求直線l的方程．

Answer 1

解：（1）因為以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切，
所以圓心到直線的距離：=b，解得b=1，又離心率=，
平方可得：，即，解得a²=2，
故所求橢圓的標準方程為：
（2）由（1）可知：F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
若直線l的斜率不存在時，則直線l的方程為x=-1，將x=-1代入橢圓方程可得y=±，
不妨設M（-1，），N（-1，-），∴=（-2，）+（-2，-）=（-4，0）
∴=4，與題設矛盾，∴直線l的斜率存在．
設其方程為：y=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
聯(lián)立方程，消y并整理得，（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
顯然有△＞0，由韋達定理可得x₁+x₂=，x₁+x₂-2=，
所以y₁+y₂=k（x₁+1）+k（x₂+1）=k（x₁+x₂+2）=，
又因為，所以，
即，即40k⁴-23k²-17=0，
解得k²=1，（負值舍去）∴k=±1
∴所求直線l的方程為x-y+1=0或x+y+1=0．
分析：（Ⅰ）根據題意：由離心率和點到直線的距離公式建立方程，利用b²=a²-c²，即可求得橢圓的標準方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），先驗證直線l的斜率不存在的情況，當斜率存在時設直線l的方程為y=k（x+1），與橢圓方程聯(lián)立，消元表示出x₁+x₂，y₁+y₂，用坐標表示出方程，解得k即可求得直線l的方程．
點評：本題考查橢圓的性質與標準方程，考查直線與橢圓的位置關系以及量知識的運用，解題的關鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理求解的整體思想，屬中檔題．