Question

【題目】已知f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，解析式為f(x)＝.

(1)求f(x)在R上的解析式；

(2)用定義證明f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．

Answer 1

【答案】(1) f(x)＝ (2)見解析

【解析】試題分析：（1）分別求出當(dāng)x＜0和x=0時(shí)的解析式，寫成分段函數(shù)的形式；（2）設(shè)x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，通過作差證明f(x1)＞f(x2)即可。

試題解析：(1)設(shè)x＜0，則－x＞0，

∴f(－x)＝.

又∵f(x)是R上的奇函數(shù)，

∴f(－x)＝－f(x)＝，

∴f(x)＝.

又∵奇函數(shù)在x=0時(shí)有意義，

∴f(0)＝0，

∴函數(shù)的解析式為f(x)＝

(2)證明：設(shè)x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，

則f(x1)－f(x2)＝－＝

＝.

∵x1，x2∈(0，＋∞)，x1＜x2，

∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＞0，

∴f(x1)－f(x2)＞0，

∴f(x1)＞f(x2)，

∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．