已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，若直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且。（14分）

(1)求橢圓的方程；

(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

【答案】

（1）（2）-1<m<或<m<1

【解析】

試題分析：（1）∵一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，所以，且焦點(diǎn)在y軸上，

因?yàn)槎梯S端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，所以，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052510414842281697/SYS201305251042356572856221_DA.files/image007.png">，所以，所以橢圓方程為.

（2）(1)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不符題意，斜率為0時(shí)顯然也不符題意；

設(shè)，

由，

∴，

設(shè)，，，

所以，，

所以，所以， 消去得，

又，∴，

∴， ∴<0， ∴-1<m<或<m<1.

考點(diǎn)：本小題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.

點(diǎn)評(píng)：求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，免不了要聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，此時(shí)一般運(yùn)算量比較大，綜合考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算求解能力.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
OA
+
OB
與
a
=（3，-1）共線．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且
OM
=λ
OA
+μ
OB
(λ，μ∈R)，證明λ2+μ2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線x=
a2c
（a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；
（3）設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，求證：線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F（2，0）的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線，則該橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為
6
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)M（2，t）（t＞0）在直線x=
a2c
（a為長(zhǎng)半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線，則該橢圓的離心率為（　　）
A、
5
3
B、
3
2
C、
6
3
D、
2
2
3

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