Question

2010年我國西南地區(qū)遭受特大旱災，某地政府決定興修水利，某灌渠的橫截面設計方案如圖所示，橫截面邊界AOB設計為拋物線型，渠寬AB為2m，渠深OC為1.5m，正常灌溉時水面EF距AB為0.5m．
（1）求水面EF的寬度；
（2）為了使灌渠流量加大，將此水渠的橫截面改造為等腰梯形，受地理條件限制要求渠深不變，不準往回填土，只準挖土，試求截面等腰梯形的下底邊長為多大時，才能使所挖的土最少？

Answer 1

分析：（1）先建立直角坐標系，從而可得到A，B，C的坐標，然后設出拋物線的標準形式，將A的坐標代入即可得到拋物線的方程，再結(jié)合點E的縱坐標可求得其橫坐標，從而可求得EF的寬度．
（2）先設出點M的坐標，根據(jù)沿過點M與拋物線相切的切線挖土時挖出的土最少，然后對拋物線方程進行求導，求得點M的切線的斜率，表示出切線方程，然后令y=0、

3

2

，求得對應的x的值，從而表示出截面面積，最后根據(jù)基本不等式的性質(zhì)可求得t的值．

解答：解：（1）建立如圖所示的直角坐標系，則A（-1，1.5），B（1，1.5），C（0，1.5）．

設拋物線方程為x²=2py（p＞0），由點A（-1，1.5）代入方程，得到1=2p×1.5，即p=

1

3

，所以拋物線方程為x²=

2

3

y，
由點E的縱坐標為1，得到點E橫坐標為-

6

3

，所以截面圖中水面寬度為

2 6

3

m．
（2）設拋物線上一點M(t，

3

2

t2)(t＞0)，因為改造水渠時只準挖土，而且要求挖出的土最少，
所以只能沿過點M與拋物線相切的切線挖土．
由x2=

2

3

y，即y=

3

2

x2，求導得y'=3x，所以過點M的切線斜率為3t，切線方程為y-

3

2

t2=3t(x-t)，
令y=0，則x1=

t

2

，令y=

3

2

，則x2=

t

2

+

1

2t

，
所以截面面積為S=

1

2

(2x1+2x2)×

3

2

=

3

2

(t+

1

2t

)≥

3 2

2

，當且僅當t=

2

2

時等號成立．
所以截面梯形的下底邊長為

2

2

m時，才能使所挖的土最少．

點評：本題主要考查拋物線在實際生活中的應用．拋物線在現(xiàn)實生活中應用很廣泛，在高考中也占據(jù)很重要的地位，所以希望廣大考生在學習這里的知識時能夠做到活學活用．