數(shù)列{an}和{bn}滿足an=
1n
(b1+b2+…+bn)（n=1，2，3…），求證{bn}為等差數(shù)列的充要條件是{an}為等差數(shù)列．
分析：先證必要性：若{bn}為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)b1，公差d，由題意能導(dǎo)出an+1-an=
d
2
，{an}為是公差為
d
2
的等差數(shù)列．再證充分性若{an}為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)a1，公差d，則能導(dǎo)出bn+1-bn=2d，即{bn}是公差為等差數(shù)列．
解答：證明：必要性若{bn}為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)b1，公差d
則an=
1
n
(nb1+
n(n-1)
2
d)=b1+
n-1
2
d
∵an+1-an=
d
2
，∴{an}為是公差為
d
2
的等差數(shù)列
充分性若{an}為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)a1，公差d
則b1+b2+…+bn=n[a1+（n-1）d]=dn2+（a1-d）
nb1+b2+…+bn-1=d（n-1）2+（a1-d）（n-1），（n≥2）
∴bn=2dn+（a1-2d），（n≥2）
當(dāng)n=1時(shí)，b1=a1也適合
∵bn+1-bn=2d，∴{bn}是公差為2d的等差數(shù)列
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意證明充要性的證明步驟．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

22、數(shù)列{an}和{bn}適合下列關(guān)系式an=5an-1-6bn-1，bn=3an-1-4bn-1，且a1=a，b1=b，求通項(xiàng)an和bn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，公差d≠0，且第一項(xiàng)、第三項(xiàng)、第十一項(xiàng)分別是等比數(shù)列{bn}的第一項(xiàng)、第二項(xiàng)、第三項(xiàng)．
（I）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)任意的n∈N*均有
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn
bn
=an+1，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1+a2+a3=15，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，b1b2b3=27．
（1）若a1=b2，a4=b3．求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3是正整數(shù)且成等比數(shù)列，求a3的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•藍(lán)山縣模擬）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{cn}滿足cn=anbn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)(1，
1
3
)是函數(shù)f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的圖象上一點(diǎn)．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f（n）-1．?dāng)?shù)列{bn}（bn＞0）的首項(xiàng)為1，且前n項(xiàng)和sn滿足sn-sn-1=
sn
+
sn_1
(n≥2)
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{
1
bnbn_1
}的前n項(xiàng)和為Tn，問滿足Tn＞
1000
2012
的最小正整數(shù)n是多少？

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