Question

10．直線y=k（x-1）交拋物線y²=8x于A、B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則弦AB的長為$2\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 把直線y=kx-k代入拋物線y²=8x，利用AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求出k的值，即可求弦AB的長．

解答 解：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，k²x²-（2k²+8）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$，
∵AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，∴$\frac{2{k}^{2}+8}{{k}^{2}}=4$，
解得：k=±2，
當(dāng)k=-2時(shí)，方程k²x²-（2k²+8）x+k²=0化為x²-4x+1=0，
x₁+x₂=4，x₁x₂=1，
|AB|=$\sqrt{1+（-2）^{2}}\sqrt{{4}^{2}-4×1}=2\sqrt{15}$；
當(dāng)k=2時(shí)，方程k²x²-（2k²+8）x+k²=0化為x²-4x+1=0，
x₁+x₂=4，x₁x₂=1，
|AB|=$\sqrt{1+{2}^{2}}\sqrt{{4}^{2}-4×1}=2\sqrt{15}$．
∴|AB|=2$\sqrt{15}$．
故答案為：$2\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查弦長的求法，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．