Question

正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a_n²-（2n-1）a_n-2n=0
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n
（2）令b_n=2^n-1•a_n，求數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得（a_n-2n）（a_n+1）=0，由a_n＞0，得a_n=2n．
（2）由b_n=2^n-1•a_n=n•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減求和法能求出數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a_n²-（2n-1）a_n-2n=0，
∴（a_n-2n）（a_n+1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n=2n．
（2）b_n=2^n-1•a_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．