Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁和F₂，下頂點為A，直線AF₁與橢圓的另一個交點為B，△ABF₂的周長為8，直線AF₁被圓O：x²+y²=b²截得的弦長為3．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若過點P（1，3）的動直線l與圓O相交于不同的兩點C，D，在線段CD上取一點Q滿足：．求證：點Q總在某定直線上．

Answer 1

（I）解：∵△ABF₂的周長為8，∴4a=8，∴a=2
∵F₁（-c，0），A（0，-b），∴直線AF₁的方程為，即bx+cy+bc=0
∵直線AF₁被圓O：x²+y²=b²截得的弦長為3，O到直線AF₁的距離d==．
∴
∴b²c²+9=4b²
∵c²=4-b²，∴b²=3
∴橢圓C的方程為；
（II）證明：設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），Q（x，y），
∵，∴（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3）
∴，即
同理
（1）×（3），得=（1-λ²）x（5）
（2）×（4），得=3（1-λ²）y（6）
（5）+（6），得=（1-λ²）（x+3y）
∵C，D在圓O上，∴
∴3（1-λ²）=（1-λ²）（x+3y）
∵λ≠±1，∴x+3y=3
∴點Q總在定直線x+3y-3=0上．
分析：（I）利用△ABF₂的周長為8，可求a的值，確定直線AF₁的方程，利用直線AF₁被圓O：x²+y²=b²截得的弦長為3，即可確定幾何量，從而可得橢圓C的方程；
（II）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），Q（x，y），利用且λ≠±1，結(jié)合C、D在圓O上，即可證得結(jié)論．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運用，考查學(xué)生的探究能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．