Question

20．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2cos²x-1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及對(duì)稱中心；
（2）求函數(shù)f（x）的減區(qū)間及對(duì)稱軸；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），由周期公式可求函數(shù)f（x）的最小正周期，由2x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z可解得函數(shù)的對(duì)稱中心．
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的減區(qū)間，由2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸．
（3）由x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，可得2x+$\frac{π}{4}$的范圍，可求得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，即可解得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2cos²x-1
=sin2x+cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
∴由2x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z可解得函數(shù)的對(duì)稱中心是：（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{8}$，0），k∈Z，
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的減區(qū)間是：[kπ$+\frac{π}{8}$，k$π+\frac{5π}{8}$]，k∈Z，
由2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}$，k∈Z，
（3）∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
∴2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值是$\sqrt{2}$，最小值是-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．