Question

5．在銳角三角形△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且（a+b+c）（a+c-b）=（2+$\sqrt{3}$）ac
（1）求角B；
（2）求cosA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件化簡(jiǎn)可得a²+c²-b²=$\sqrt{3}ac$，根據(jù)余弦定理可求得：cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結(jié)合B是銳角，即可求B的值．
（2）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得cosA+sinC=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$），求出A$+\frac{π}{3}$范圍，即可得解．

解答 解：（1）由條件可得，（a+c）²-b²=（2+$\sqrt{3}$）ac，即a²+c²-b²=$\sqrt{3}ac$，
根據(jù)余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵B是銳角，∴B=$\frac{π}{6}$．…（5分）
（2）∵B=$\frac{π}{6}$，∴A+C=$\frac{5π}{6}$即C=$\frac{5π}{6}-A$，
∴cosA+sinC=cosA+sin（$\frac{5π}{6}-A$）
=cosA+sin$\frac{5π}{6}$cosA-cos$\frac{5π}{6}$sinA
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinA+\frac{3}{2}cosA$
=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$）．…（8分）
又△ABC是銳角三角形，∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜C＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{5π}{6}-A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{π}{3}＜A＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{2π}{3}＜$A$+\frac{π}{3}$$＜\frac{5π}{6}$，
∴cosA+sinC$∈（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}）$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．