設(shè)A是由m×n個實數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個數(shù)的絕對值不大于1，且所有數(shù)的和為零．記S(m，n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合．

對于A∈S(m，n)，記ri(A)為A的第i行各數(shù)之和(1≤i≤m)，c，(A)為A的第j列各數(shù)之和(1≤j≤n)；記k(A)為|r1(A)|，|r2(A|，…，|rm(A)|，|c1(A)|，|c2(A)|，…，|cn(A)|中的最小值．

(1)對如下數(shù)表A，求k(A)的值；

(2)設(shè)數(shù)表A∈S(2，3)形如

求k(A)的最大值；

(3)給定正整數(shù)t，對于所有的A∈S(2，2t＋1)，求k(A)的最大值．

答案：
解析：

　　解：(1)由題意可知，，，，

　　∴

　　(2)先用反證法證明：

　　若

　　則，∴

　　同理可知，∴

　　由題目所有數(shù)和為

　　即

　　∴

　　與題目條件矛盾

　　∴．

　　易知當(dāng)時，存在

　　∴的最大值為1

　　(3)的最大值為．

　　首先構(gòu)造滿足的：

　　，

　　．

　　經(jīng)計算知，中每個元素的絕對值都小于1，所有元素之和為0，且

　　，

　　，

　　．

　　下面證明是最大值．若不然，則存在一個數(shù)表，使得．

　　由的定義知的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都不小于，而兩個絕對值不超過1的數(shù)的和，其絕對值不超過2，故的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都在區(qū)間中．由于，故的每一列兩個數(shù)符號均與列和的符號相同，且絕對值均不小于．

　　設(shè)中有列的列和為正，有列的列和為負(fù)，由對稱性不妨設(shè)，則．另外，由對稱性不妨設(shè)的第一行行和為正，第二行行和為負(fù)．

　　考慮的第一行，由前面結(jié)論知的第一行有不超過個正數(shù)和不少于個負(fù)數(shù)，每個正數(shù)的絕對值不超過1(即每個正數(shù)均不超過1)，每個負(fù)數(shù)的絕對值不小于(即每個負(fù)數(shù)均不超過)．因此

　　，

　　故的第一行行和的絕對值小于，與假設(shè)矛盾．因此的最大值為．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•海淀區(qū)二模）設(shè)A是由m×n個實數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，如果某一行（或某一列）各數(shù)之和為負(fù)數(shù)，則改變該行（或該列）中所有數(shù)的符號，稱為一次“操作”．
（Ⅰ） 數(shù)表A如表1所示，若經(jīng)過兩次“操作”，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)實數(shù)，請寫出每次“操作”后所得的數(shù)表（寫出一種方法即可）； 
1 2 3 -7
-2 1 0 1
表1
（Ⅱ） 數(shù)表A如表2所示，若必須經(jīng)過兩次“操作”，才可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)，求整數(shù)a的所有可能值；
a a2-1 -a -a2
2-a 1-a2 a-2 a2
表2
（Ⅲ）對由m×n個實數(shù)組成的m行n列的任意一個數(shù)表A，能否經(jīng)過有限次“操作”以后，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京）設(shè)A是由m×n個實數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個數(shù)的絕對值不大于1，且所有數(shù)的和為零，記s（m，n）為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合．對于A∈S（m，n），記ri（A）為A的第ⅰ行各數(shù)之和（1≤ⅰ≤m），Cj（A）為A的第j列各數(shù)之和（1≤j≤n）；記K（A）為|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．
（1）如表A，求K（A）的值；
1 1 -0.8
0.1 -0.3 -1
（2）設(shè)數(shù)表A∈S（2，3）形如
1 1 c
a b -1
求K（A）的最大值；
（3）給定正整數(shù)t，對于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：高考真題 題型：解答題

設(shè)A是由m×n個實數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個數(shù)的絕對值不大于1，且所有數(shù)的和為零，記s（m，n）為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合，對于A∈S（m，n），記ri（A）為A的第i行各數(shù)之和（1≤i≤m），Cj（A）為A的第j列各數(shù)之和（1≤j≤n）；記K（A）為|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值。
（1）如表A，求K（A）的值；
（2）設(shè)數(shù)表A∈（2，3），形如下表，求K（A）的最大值。
（3）給定正整數(shù)t，對于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A是由m×n個實數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，如果某一行（或某一列）各數(shù)之和為負(fù)數(shù)，則改變該行（或該列）中所有數(shù)的符號，稱為一次“操作”．

（Ⅰ） 數(shù)表A如表1所示，若經(jīng)過兩次“操作”，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)實數(shù)，請寫出每次“操作”后所得的數(shù)表（寫出一種方法即可）； 

1

2

3

﹣7

﹣2

1

0

1

表1

（Ⅱ） 數(shù)表A如表2所示，若必須經(jīng)過兩次“操作”，才可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)，求整數(shù)a的所有可能值；

a

a2﹣1

﹣a

﹣a2

2﹣a

1﹣a2

a﹣2

a2

表2

（Ⅲ）對由m×n個實數(shù)組成的m行n列的任意一個數(shù)表A，能否經(jīng)過有限次“操作”以后，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（北京卷解析版） 題型：解答題

設(shè)A是由m×n個實數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個數(shù)的絕對值不大于1，且所有數(shù)的和為零，記s(m，n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合。

對于A∈S(m,n),記ri(A)為A的第ⅰ行各數(shù)之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和（1≤j≤n）：

記K(A)為∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。

（1）   對如下數(shù)表A，求K（A）的值；

1

1

-0.8

0.1

-0.3

-1

 

（2）設(shè)數(shù)表A∈S（2,3）形如

1

1

c

a

b

-1

 

求K（A）的最大值；

（3）給定正整數(shù)t，對于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值。

【解析】（1）因為，

所以

（2）  不妨設(shè).由題意得.又因為，所以，

于是，，

    

所以，當(dāng)，且時，取得最大值1。

（3）對于給定的正整數(shù)t，任給數(shù)表如下，

…

…

任意改變A的行次序或列次序，或把A中的每一個數(shù)換成它的相反數(shù)，所得數(shù)表

，并且，因此，不妨設(shè)，

且。

由得定義知，，

又因為

所以

     

     

所以，

對數(shù)表：

1

1

…

1

…

…

-1

…

-1

 

則且，

綜上，對于所有的，的最大值為

 

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