Question

（2006•浦東新區(qū)模擬）（1）已知函數(shù)f（x）=a^x-x（a＞1）．
①若f（3）＜0，試求a的取值范圍；
②寫出一組數(shù)a，x₀（x₀≠3，保留4位有效數(shù)字），使得f（x₀）＜0成立；
（2）若曲線y=x+

p

x

（p≠0）上存在兩個不同點關(guān)于直線y=x對稱，求實數(shù)p的取值范圍；
（3）當(dāng)0＜a＜1時，就函數(shù)y=a^x與y=log_ax的圖象的交點情況提出你的問題，并加以解決．（說明：①函數(shù)f（x）=xlnx有如下性質(zhì)：在區(qū)間(0，

1

e

]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[

1

e

，1)上單調(diào)遞增．解題過程中可以利用；②將根據(jù)提出和解決問題的不同層次區(qū)別給分．）

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)f（3）＜0，a＞1構(gòu)造不等式組，解不等式組，可得a的取值范圍；
②由①中結(jié)論，可得a取（1，1.445）中的任意值都可以，進(jìn)而給出合適的x₀，即可得到答案．
（2）設(shè)曲線y=x+

p

x

上兩個對稱點為（m，n），（n，m），可得p=-2m²，進(jìn)而得到實數(shù)p的取值范圍；
（3）提出的問題是：當(dāng)a∈（0，e^-e）時，函數(shù)y=a^x與y=log_ax的圖象有3個交點；當(dāng)a∈[e^-e，1）時，函數(shù)y=a^x與y=log_ax的圖象有1個交點，進(jìn)而根據(jù)（1）（2）的結(jié)論可進(jìn)行推導(dǎo)論證．

解答：解：（1）①

f(3)＜0 a＞1

⇒

a3-3＜0 a＞1

⇒1＜a＜

3	3

…（4分）
②當(dāng)a=1.1，x₀=2時，f（x₀）＜0成立
注：a�。�1，1.445）中的任意值都可以，相應(yīng)的x₀均給分…（6分）
（2）設(shè)曲線y=x+

p

x

上兩個對稱點為（m，n），（n，m），
于是

m+ p m =n n+ p n =m

…（9分）
m+

p

m

+

p

m+ p m

=m(p≠0)⇒p=-2m2…（11分）
所以p＜0；…（12分）
（3）提出的問題是：當(dāng)a∈（0，e^-e）時，函數(shù)y=a^x與y=log_ax的圖象有3個交點；當(dāng)a∈[e^-e，1）時，函數(shù)y=a^x與y=log_ax的圖象有1個交點．…（14分）
問題解決如下：顯然，當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y=a^x與y=log_ax的圖象在直線y=x上有一個交點．…（15分）
若曲線y=a^x上有兩個點（m，n），（n，m）關(guān)于直線y=x對稱，則

n=am m=an

⇒a=n

1

m

=m

1

n

⇒lna=

1

m

lnn=

1

n

lnm⇒mnlna=nlnn=mlnm，
即m，n是函數(shù)y=xlnx（0＜x＜1）與直線y=c（c為常數(shù)）的交點的橫坐標(biāo)．
因為函數(shù)f（x）=xlnx有如下性質(zhì)：在區(qū)間(0，

1

e

]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[

1

e

，1)上單調(diào)遞增．
于是x=

1

e

時f（x）=xlnx取得最小值-

1

e

，即-

1

e

≤xlnx＜0，由其圖象可得到，當(dāng)c∈(-

1

e

，0)時，m，n成對出現(xiàn)，且

1

m

lnn=

1

n

lnm∈(-∞，-e)．…（18分）
當(dāng)lna＜-e，即a∈（0，e^-e）時，點（m，n），（n，m）存在，即函數(shù)y=a^x與y=log_ax的圖象有3個交點；
當(dāng)lna≥-e，即a∈[e^-e，1）時，點（m，n），（n，m）不存在，函數(shù)y=a^x與y=log_ax的圖象只有1個交點．…（20分）

點評：本題考查的知識點是指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，反函數(shù)，具有相當(dāng)?shù)闹饔^性，難度也比較大．