Question

已知f（x）在（-1，1）上有定義f(

1

2

)=1，且滿足x，y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)，對數(shù)列x₁=

1

2

，x_n+1=

2xn

x 2 n

（1）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)；
（2）求f（x_n）的表達式．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）通過已知條件，利用x=y以及x=0，推出f（x）在（-1，1）上滿足奇函數(shù)的定義，得到結(jié)果；
（2）利用已知條件，推出f（x_n+1）=2f（x_n）得到數(shù)列是等比數(shù)列，然后求解函數(shù)的解析式．

解答： 解：（1）證明：∵x．y∈（-1.1）有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)，
當x=y時，可得f（0）=0，
當x=0時f(0)-f(y)=f(

0-y

1-0×y

)=f(-y)，
∴f（-y）=-f（y）∴f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)；
（2）∵f(xn+1)=f(

2xn

1+ x 2 n

)=f(

xn-(-xn)

1-xn•(-xn)

)
=f（x_n）-f（-x_n）=2f（x_n），
∴

f(xn+1)

f(xn)

=2又f(x1)=f(

1

2

)=1，
∴{f（x_n）}為等比數(shù)列，其通項公式為f(xn)=f(x1)•2n-1=2n-1．

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，等比數(shù)列的判斷數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查計算能力．