Question

11．給出以下命題：
①存在兩個(gè)不等實(shí)數(shù)α，β，使得等式sin（α+β）=sinα+sinβ成立；
②若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a_m+a_n=a_s+a_t（m、n、s、t∈N*），則m+n=s+t；
③若S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則S₆，S₁₂-S₆，S₁₈-S₁₂成等比數(shù)列；
④若S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S_n=Aqⁿ+B；（其中A、B是非零常數(shù)，n∈N^*），則A+B為零；
⑤已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a²+b²＞c²，則△ABC一定是銳角三角形．
其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 利用特殊值判斷①的正誤；利用特殊數(shù)列即可推出命題②的正誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，判斷③的正誤；根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和推出A，B判斷④的正誤．利用特殊三角形判斷⑤的正誤；

解答 解：對(duì)于①實(shí)數(shù)α=0，β≠0，則sin（α+β）=sinβ，sinα+sinβ=sinβ，所以等式成立；故①正確；
對(duì)于②取數(shù)列{a_n}為常數(shù)列，對(duì)任意m、n、s、t∈N*，都有a_m+a_n=a_s+a_t，故②不正確；
對(duì)于③設(shè)a_n=（-1）ⁿ，
則S₂=0，S₄-S₂=0，S₆-S₄=0，
∴此數(shù)列不是等比數(shù)列，故③不正確；
④S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S_n=Aqⁿ+B；（其中A、B是非零常數(shù)，n∈N^*），
所以此數(shù)列為首項(xiàng)是a₁，公比為q≠1的等比數(shù)列，
則S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
所以A=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$，B=-$\frac{{a}_{1}}{1-q}$，∴A+B=0，故④正確；
對(duì)于⑤，如果三角形是直角三角形，a=5，b=3．c=4，滿足a²+b²＞c²，故⑤不正確；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，三角函數(shù)以及三角形的判斷，是一道綜合題．屬中檔題．