Question

9．已知函數(shù)f₁（x）=$\frac{2x-1}{x+1}$，對于n∈N，定義f_n+1（x）=f₁（f_n（x）），則f₂₈（x）=$\frac{1}{1-x}$．

Answer 1

分析 分別求出f₁（x）到f₆（x）的值，每6個一循環(huán)，得到函數(shù)具備周期性，利用周期性進行求解即可．

解答 解：∵函數(shù)對于n∈N^*，定義f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，
∴f₂（x）=f₁[f₁（x）]=f₁（$\frac{2x-1}{x+1}$）=$\frac{2•\frac{2x-1}{x+1}-1}{\frac{2x-1}{x+1}+1}$=$\frac{x-1}{x}$．
f₃（x）=f₁[f₂（x）]=f₁（$\frac{x-1}{x}$）=$\frac{2•\frac{x-1}{x}-1}{\frac{x-1}{x}+1}$=$\frac{x-2}{2x-1}$，
f₄（x）=f₁[f₃（x）]=f₁（$\frac{x-2}{2x-1}$）=$\frac{2•\frac{x-2}{2x-1}-1}{\frac{x-2}{2x-1}+1}$=$\frac{1}{1-x}$，
f₅（x）=f₁[f₄（x）]=f₁（$\frac{1}{1-x}$）=$\frac{2•\frac{1}{1-x}-1}{\frac{1}{1-x}+1}$=$\frac{x+1}{2-x}$，
f₆（x）=f₁[f₅（x）]=f₁（$\frac{x+1}{2-x}$）=$\frac{2•\frac{x+1}{2-x}-1}{\frac{x+1}{2-x}+1}$=x，
f₇（x）=f₁[f₆（x）]=f₁（x）=$\frac{2x-1}{x+1}$=f₁（x）．
∴從f₁（x）到f₆（x），每6個一循環(huán)．周期為6，
∵28=4×6+4，
∴f₂₈（x）=f₄（x）=$\frac{1}{1-x}$，
故答案為：$\frac{1}{1-x}$．

點評 本題考查函數(shù)的周期性，是基礎(chǔ)題．解題時要認真審題，解題的關(guān)鍵是得到從f₁（x）到f₆（x），每6個一循環(huán)．考查學(xué)生的運算能力．