Question

已知函數(shù)f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．

(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；

(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1,2]，函數(shù)g(x)＝x³＋x²在區(qū)間(t,3)上總不是單調函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

解析　(1)根據(jù)題意知，f′(x)＝(x＞0)，

當a＞0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1]，單調遞減區(qū)間為(1，＋∞)；

當a＜0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(0,1]；當a＝0時，f(x)不是單調函數(shù)．

(2)∵f′(2)＝－＝1，∴a＝－2，

∴f(x)＝－2ln x＋2x－3.

∴g(x)＝x³＋x²－2x，

∴g′(x)＝3x²＋(m＋4)x－2.

∵g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調函數(shù)，且g′(0)＝－2，

∴

由題意知：對于任意的t∈[1,2]，g′(t)＜0恒成立，

∴∴－＜m＜－9.