Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的內(nèi)接平行四邊形的一組對邊分別經(jīng)過其兩個焦點（如圖），則這個平行四邊形面積的最大值為（　�。�

• A． 8
• B． 8$\sqrt{3}$
• C． 16
• D． 16$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求弦AB長，再求高，即點F₂到直線AB的距離．利用平行四邊的面積公式進(jìn)行求解．

解答 解：因為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，所以a²=16，b²=4，c²=12，F(xiàn)₁（-2$\sqrt{3}$，0）．
若直線AB的斜率不存在時，即x=-2$\sqrt{3}$，
此時A（-2$\sqrt{3}$，1），B（-2$\sqrt{3}$，-1），故S_?ABCD=2×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$；
若直線AB的斜率存在且設(shè)為k，即y=k（x+2$\sqrt{3}$），與$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1聯(lián)立方程組整理得：
（1+4k²）x²+16$\sqrt{3}$k²x+48k²-16=0，有x₁+x₂=-$\frac{16\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{48{k}^{2}-16}{1+4{k}^{2}}$，
則|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\left|{x}_{1}-{x}_{2}\right|$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=8$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$．
AB邊上高，即點F₂（2$\sqrt{3}$，0）到直線y=k（x+2$\sqrt{3}$）的距離為$\frac{\left|4\sqrt{3}k\right|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則S_?ABCD=$\left|8\sqrt{3}k\right|\sqrt{\frac{16+16{k}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$=8$\sqrt{3}\sqrt{\frac{16{k}^{2}+16{k}^{4}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$=8$\sqrt{3}\sqrt{1+\frac{8{k}^{2}-1}{1+8{k}^{2}+16{k}^{4}}}$．
令8k²-1=t，t≥-1，
則8k²=1+t，則$\frac{8{k}^{2}-1}{1+8{k}^{2}+16{k}^{4}}$=$\frac{4t}{{t}^{2}+6t+9}$，
當(dāng)t=0時，$\frac{4t}{{t}^{2}+6t+9}$=0，S_?ABCD=8$\sqrt{3}$．
若t≠0，$\frac{4t}{{t}^{2}+6t+9}$=$\frac{4}{t+\frac{9}{t}+6}$，
則當(dāng)t=3時，$\frac{4t}{{t}^{2}+6t+9}$取得最大值$\frac{1}{3}$，此時S_?ABCD=8$\sqrt{3}$•$\sqrt{\frac{4}{3}}$=16．
綜上，（S_?ABCD）_max=16．
故選：C

點評 本題主要考查平行四邊形的面積的計算，考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，聯(lián)立直線和橢圓的方程是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．