Question

已知橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)。
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ)垂直于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓D經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).證明：圓D的半徑為定值.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵
∴
又∵
∴
∴方程為，代點(diǎn)得a²=4
∴b²=1
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（1）當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，則由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知x₁=x₂，y₁=-y_{2
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
∴
即
∴
代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中得
此時(shí)0到AB的距離為
（2）當(dāng)AB的斜率為零時(shí)，則由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知
同理可求得，
綜上所述，圓D的半徑為定值。}